Окружность — это просто линия — множество плоских точек, равноудаленных от центра, — и окружность — это плоская фигура, состоящая из окружности и всей её внутренней части. Другими словами, окружность — это сторона окружности. Следовательно, окружность имеет только длину (длину окружности), а также площадь поверхности.
Суммируя
- Окружность – замкнутая линия; точки находятся на расстоянии от центра, равном радиусу r.
- Окружность – окружность вместе с её внутренней частью; точки, находящиеся на расстоянии r или менее от центра.
- Длина окружности: L = 2πr² ; площадь окружности: P = πr² .
- Площадь круга не имеет значения – длина указывается в сантиметрах, площадь круга – в см².
Круг – определение
Окружность с центром S и радиусом r — это множество всех точек на плоскости, расстояние от которых до точки S равно r. Это замкнутая кривая — то, что можно нарисовать циркулем, не отрывая карандаш от бумаги. У окружности нет «центра в центре»: точка S не принадлежит окружности; она лежит внутри неё.
Круг — это одномерный объект или линия. Вы можете измерить его длину , но не можете вычислить его площадь, потому что линия не занимает никакой поверхности. Примеры из реальной жизни: обруч для хула-хупа, обручальное кольцо, если смотреть на него сверху, контур монеты на листе бумаги.
Круг – определение
Окружность с центром S и радиусом r — это множество всех точек на плоскости, расстояние от которых до S меньше или равно r. Она включает в себя как саму окружность (ребро), так и всю её внутреннюю часть, включая центр.
Круг — это двумерная фигура, поэтому у него есть площадь . У него также есть окружность — длина окружности, которая его ограничивает. Примеры: монета, циферблат часов, пицца, фрисби.
Разница сводится к одному знаку в определении: в круге расстояние от центра равно r, в колесе – не больше r.
Таблица сравнения: круг против круга
| Характерный | Круг | Колесо |
|---|---|---|
| Что такое | Линия (замкнутая кривая) | Плоская фигура (поверхность) |
| Условие для точки | Расстояние от центра = r | Расстояние от центра ≤ r |
| Центр относится к изображению? | НЕТ | Да |
| Поле | Недостаток | P = πr² |
| Длина / окружность | L = 2πr | Длина окружности равна 2πr (длина окружности). |
| Единицы | Единицы измерения длины (см, м) | Площадь в см², м²; периметр в см, м. |
| Пример | Обруч, кольцо, контур | Монета, пицца, циферблат часов |
Формулы: длина окружности, длина окружности и площадь окружности.
Все формулы основаны на числе π (пи) , которое является отношением длины окружности к её диаметру. В школьных задачах обычно принимают π ≈ 3,14 или оставляют π в качестве ответа.
- Длина окружности (длина окружности): L = 2πr или L = πd, где d — диаметр (d = 2r).
- Площадь круга: P = πr².
Пример: при r = 5 см длина окружности равна L = 2π/5 = 10π см ≈ 31,4 см, а площадь окружности равна P = π/5² = 25π см² ≈ 78,5 см². Обратите внимание на единицы измерения – сантиметры для длины, квадратные сантиметры для площади. Путаница с ними – распространенная ошибка на контрольных работах.
Если в задаче указан диаметр , сначала разделите его на 2. Для d = 10 см радиус равен 5 см, поэтому результаты будут такими же, как и выше. Можно также использовать формулу L = πd напрямую, но площадь всегда вычисляется исходя из радиуса.
И наоборот, если известна площадь круга, радиус можно вычислить, разделив площадь на π и извлекая квадратный корень. Например, площадь 36π см² означает r² = 36, или r = 6 см, а длина круга L = 12π см.
Элементы окружности и подокружности
Некоторые из этих понятий применимы к обеим фигурам, некоторые — только к кругу:
- Центр – точка, равноудаленная от всех точек окружности.
- Радиус – отрезок, соединяющий центр с точкой окружности (и имеющий длину r).
- Хорда – отрезок, соединяющий две точки окружности.
- Диаметр – самая длинная хорда, проходящая через центр; d = 2r.
- Дуга – фрагмент окружности между двумя её точками.
- Сектор окружности — это часть окружности, ограниченная двумя радиусами и дугой (как кусок пиццы).
- Отрезок окружности – часть окружности, ограниченная хордой и дугой.
- Касательная — это линия, имеющая ровно одну общую точку с окружностью.
Дуга — это отрезок прямой, поэтому она применима к окружности. Сектор и отрезок — это отрезки поверхности, поэтому они применимы к окружности.
Как запомнить разницу и не допустить ошибки при выполнении задания?
- Круг = граница. Оба слова начинаются с буквы «о» — круг — это просто край.
- Круг = щит. Представьте себе закрашенный, нарисованный круг.
- Вопрос о площади? Речь идёт о круге — у круга нет площади.
- Вопрос о длине, окружности, проволоке, заборе, раме? Вы вычисляете длину круга.
- Вопрос о краске, материале или поверхности столешницы? Вы вычисляете площадь круга.
Окружность и окружность в системе координат
В старшей школе разница также видна в алгебраической записи. Окружность с центром (a, b) и радиусом r описывается уравнением (x − a)² + (y − b)² = r². Окружность с тем же центром и радиусом описывается неравенством (x − a)² + (y − b)² ≤ r² – знак «меньше или равно» обозначает все точки внутри окружности.
Если в неравенстве появляется знак остроты (<), мы получаем внутреннюю часть круга без окружности, то есть открытый круг. Это дополнительное доказательство того, что круг — это лишь граница, тогда как круг — это вся площадь.
В повседневной речи мы говорим «нарисуй круг» или «сядь в круг», не задумываясь о точном значении. Однако на уроках математики, на экзамене в восьмом классе и на итоговом экзамене эта разница имеет значение — она определяет, вычисляете ли вы длину или площадь.
Часто задаваемые вопросы (FAQ)
В чём разница между кругом и просто кругом?
Круг — это просто линия, край фигуры. Круг — это круг со своей внутренней частью. Круг имеет только длину, круг имеет площадь и окружность.
Имеет ли круг площадь?
Нет. Круг — это линия, поэтому у него нет площади поверхности. Когда мы говорим о «площади круга», мы на самом деле говорим о площади круга, ограниченного этим кругом: P = πr².
Длина окружности равна длине самого круга?
Да. Длина окружности равна длине окружности, которая её ограничивает, и равна L = 2πr.
Принадлежит ли центр окружности?
Нет. Центр находится на радиусе окружности, поэтому он расположен внутри неё. Однако он принадлежит окружности.
Как объяснить ребёнку разницу между кругом и окружностью?
Круг — это обруч для хула-хупа — только его край. Колесо — это монета или пицца — весь диск целиком. Круг можно обвести пальцем, а можно закрасить.
См. также
- В чём разница между цифрой и числом?
- В чём разница между процентным пунктом и процентом?
- В чём разница между динамикой и кинематикой?
- В чём разница между магнитным и механическим велосипедом?